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미카엘리스-멘텐 방정식 유도

by _OlZl 2024. 7. 19.

 

생명과학 시간에 효소의 반응속도에 대해 배웠는데 이때 미카엘리스-멘텐 방정식이라는 식을 알게 되었습니다. 아무 생각 없이 받아들인 식이지만 어떻게 나오게 되었는지 유도해보면 좋을 것 같아 유도해보도록 하겠습니다.


미카엘리스-멘텐 방정식?

미카엘리스-멘텐 방정식은 기질 농도에 따른 효소의 초기 반응속도를 나타낸 식입니다. 여기서 굳이 초기 반응속도인 이유는 효소는 작용 속도가 너무 빨라서 굉장히 짧은 시간 내에 $V_{max}$에 도달하기 때문입니다.

 

미카엘리스-멘텐 방정식은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

$$ V_0 = \frac{V_{max}\cdot [S]}{K_m + [S]} $$

여기서 $V_0$는 당연히 초기 반응속도, $V_{max}$는 최대 반응속도, $[S]$는 기질의 농도, $K_m$은 효소의 반응속도가 $\frac{1}{2} V_{max}$일때의 기질의 농도를 의미합니다.

다른 건 몰라도 $K_m$이 약간 말만 들으면 헷갈릴 수 있는데 그래프로 보면 이해가 쉽습니다.

 

미카엘리스-멘텐 방정식을 그래프로 그리면 다음과 같은데요. 

미카엘리스-멘텐 방정식 그래프

 

그래프를 보면 알 수 있듯이 기질의 농도가 증가할수록 반응속도는 $V_{max}$에 근접하는 걸 확인할 수 있고, 이때 반응속도가 $\frac{1}{2} V_{max}$일때의 $[S]$가 $K_m$라고 확인하시면 됩니다.


미카엘리스 - 멘텐 방정식 유도

이제 유도를 시작해보겠습니다.

효소기질복합체 형성 과정

 

위 반응식에서 $E$는 효소, $S$는 기질, $P$는 생성물을 의미하고, $k_1$는 $ES$를 만드는 반응속도 상수, $k_2$는 $ES$가 $E+S$로 분해되는 반응속도 상수, $k_3$는 $ES$가 $E+P$가 되는 반응속도 상수를 뜻합니다.

($E+P$가 $ES$로 변하는 과정은 $P$의 양이 아주 적기 때문에 무시할 수 있습니다.)

 

반응속도 = 반응속도상수$\times$반응물의 농도이므로 

$ES$ 복합체의 생성 속도 = $k_1\cdot[E][S]$, $ES$ 복합체의 분해 속도 = $(k_2+k_3)\cdot[ES]$, $ES$ 복합체가 생성물을 만드는 속도 ($V_0$) = $k_2\cdot[ES]$입니다.

정류 상태 근사법 = 다단계의 화학반응상에서 나타나는 중간체의 농도는 변하지 않는다고 가정하는 것

 

정류 상태일때 $ES$ 복합체의 생성 속도 = 분해 속도이므로

$$k_1\cdot[E][S] = (k_2+k_3)\cdot[ES]$$

$$\rightarrow\,\,\frac{[E][S]}{[ES]} = \frac{k_2+k_3}{k_1}$$

$\frac{k_2+k_3}{k_1}\equiv K_m$ (미카엘리스 상수)

 

$$\frac{[E][S]}{[ES]} = \frac{k_2+k_3}{k_1}$$

$$\rightarrow\,\,[ES] = \frac{[E][S]}{\frac{k_2+k_3}{k_1}} = \frac{[E][S]}{K_m}$$

이고, $[E]$는 결합하지 않은 효소의 농도이므로 $[E_t]-[ES]$로 표현 가능하다. ($[E_t] = [E_{total}]$ = 전체 효소의 농도)

 

$$\therefore\,\,[ES] = \frac{([E_t]-[ES])\cdot[S]}{K_m}$$

$$\rightarrow\,\,[ES]\cdot(1+\frac{[S]}{K_m}) = \frac{[E_t][S]}{K_m}$$

$$\rightarrow\,\,[ES] = \frac{\frac{[E_t][S]}{K_m}}{1+\frac{[S]}{K_m}} = \frac{[E_t][S]}{K_m+[S]}$$

 

$V_0 = k_2\cdot[ES]$이고 $V_{max} = k_2\cdot[E_t]$로 표현 가능하다.

$$V_0 = k_2\times \frac{\frac{V_{max}}{k_2}[S]}{K_m+[S]}$$

$$\therefore\,\,V_0 = \frac{V_{max}[S]}{K_m+[S]}$$


$K_m$의 의미

그럼 $K_m$이 왜 $\frac{1}{2}V_{max}로 정의되는지를 확인해보겠습니다. 

미카엘리스-멘텐 방정식의 $[S]$에 $K_m$을 대입하면 $V_0 = \frac{1}{2}V_{max}$가 나오게 됩니다. 따라서 $K_m$은 반응속도가 최대의 절반일때의 기질 농도를 의미한다는 것을 알 수 있습니다.

 

또, $K_m$값으로 효소의 기질 친화도를 확인할 수 있습니다. $K_m$값이 크면 $\frac{1}{2}V_{max}$에 도달하는데 기질이 많이 필요하다는 얘기이므로 ${ES}$ 복합체의 결합이 약하다는 것을 의미하고, $K_m$값이 작으면 $\frac{1}{2}V_{max}$에 도달하는데 기질이 조금 필요하다는 얘기이므로 ${ES}$ 복합체의 결합이 강하다는 것을 의미합니다.