이번엔 2학기 세특 시즌이 돌아왔습니다. 2학기 내내 안 쓰다가 이제 와서 쓰려하니 현타가 좀 와서 앞으로는 좀 열심히 써봐야겠네요. (이래놓고 안 쓸 예정)
이번에 공부할 것은 렌즈 방정식과 렌즈 제작자 공식, 가우스 결상식입니다. 이번에 파동광학 부분에 대해 공부하며 렌즈 방정식과 렌즈 제작자 공식 두 가지 식에 대해 배웠는데, 두 식을 모두 유도해볼 생각입니다. 가우스 결상식은 렌즈 제작자 공식을 유도하는데 필요해서 유도해볼겁니다.
1. 렌즈 방정식
<렌즈 방정식> :
$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$
우선 유도가 더 쉬운 렌즈 방정식부터 유도해보도록 하겠습니다.
먼저, 이런 식으로 렌즈가 하나 있다고 가정해보겠습니다. 이때, $ tan \,\alpha = \frac{h}{a} = -\frac{h'}{b} $가 됩니다. 이때 $-\frac{h'}{b}$에 (-)가 붙는 이유는 상이 도립이기 때문입니다. 따라서 이 식에서 배율 $M = \frac{h'}{h} = -\frac{b}{a}$임을 알 수 있습니다.
또, $ tan \theta = -\frac{h'}{b-f} = \frac{h}{f} $이므로 이 식에서 배율 $M = \frac{h'}{h} = -\frac{b-f}{f}$입니다.
이 두 식을 연립하면 $$M = -\frac{b}{a} = -\frac{b-f}{f} \,\rightarrow\, ab-af = bf \,\rightarrow\, f(a+b) = ab $$
$$ \therefore\,\, \frac{1}{f} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$라는 식이 유도됩니다.
2. 렌즈 제작자 공식
다음으론 렌즈 제작자 공식을 유도해보겠습니다. 그러나 이를 유도하기 전에 먼저 가우스 결상식이라는 식을 알아야하므로 이 식부터 유도해보도록 하겠습니다.
2-1. 가우스 결상식
<가우스 결상식>
$$ \frac{n_1}{a} + \frac{n_2}{b} = \frac{n_2 - n_1}{R} $$
이번에는 다음과 같은 단면 렌즈를 가정해볼 것입니다.
이때, $ tan\,\alpha = \frac{h}{OH},\,\,tan\,\beta = \frac{h}{CH}\,\,tan\,\gamma = \frac{h}{DH}$이고, $\alpha,\,\beta,\,\gamma$는 매우 작으므로 tan를 그냥 각으로 근사 가능합니다.
$$ \therefore\,\,\, \alpha \approx \frac{h}{OH},\,\beta \approx \frac{h}{CH},\,\gamma \approx \frac{h}{DH} $$
그리고 여기서 AH는 매우 작아서 무시할 수 있습니다. 따라서 $OH \approx a,\,CH \approx R,\,DH \approx b$이고, 식을 다시 써보면 $ \alpha = \frac{h}{a},\,\beta = \frac{h}{R},\,\gamma = \frac{h}{b} $가 됩니다.
이때 $\alpha + \beta = \theta_1,\, \gamma + \theta_2 = \beta \,\,\rightarrow\,\, \beta - \gamma = \theta_2 $가 됩니다.
따라서 스넬 법칙을 사용해주면 $$n_1\cdot sin\,\theta_1 \approx n_1\cdot \theta_1 = n_2\cdot sin\,\theta_2 \approx n_2\cdot \theta_2 $$
$$ \Rightarrow\,\, n_1(\alpha + \beta) = n_2(\beta - \gamma) \,\,\Rightarrow\,\, n_1(\frac{h}{a} + \frac{h}{R}) = n_2(-\frac{h}{b} + \frac{h}{R}) $$
이후 h로 양변을 나누면 $$ \frac{n_1}{a} + \frac{n_1}{R} = -\frac{n_2}{b} + \frac{n_2}{R} $$
$$ \therefore \frac{n_1}{a} + \frac{n_2}{b} = \frac{n_2 - n_1}{R} $$이라는 식이 나옵니다.
이제 진짜 렌즈 제작자 공식을 유도해보겠습니다.
<렌즈 제작자 공식> :
$$ \frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} $$
먼저, 이번에도 다음과 같은 렌즈를 하나 가정합니다. 이때, 렌즈의 두 면은 서로 다른 곡률을 가지고 있다는 점에 주의하도록 합니다. (각각의 곡률 = $R_1$, $R_2$)
먼저, 왼쪽 렌즈에 대해서 가우스 결상식을 쓰면 $\frac{1}{a_1} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R_1}$이고, 오른쪽 렌즈의 가우스 결상식에서는 왼쪽 렌즈에 의한 상이 오른쪽 렌즈에서 물체 역할을 하므로 물체의 거리는 $-a_2$가 됩니다.
따라서 오른쪽 렌즈에 대해서도 가우스 결상식을 쓰면 $\frac{n}{-a_2} + \frac{1}{b_2} = \frac{1-n}{R_2}$입니다. 이때, $-a_2 = L - b_1$이므로 위 식은 $\frac{n}{L-b_1} + \frac{1}{b_2} = \frac{1-n}{R_2}$가 됩니다.
우리는 얇은 렌즈에 대해서만 보고 있으므로 $b_1 \,>>\, L$이고, 따라서 $\frac{n}{-b_1} + \frac{1}{b_2} = \frac{1-n}{R_2}$로 근사 가능합니다.
이제 왼쪽 렌즈에서의 가우스 결상식과 오른쪽 렌즈에서의 가우스 결상식을 더하면
$$ (\frac{1}{a_1} + \frac{n}{b_1})\,+\,(\frac{n}{-b_1} + \frac{1}{b_2})= (\frac{n-1}{R_1})\,+\,(\frac{1-n}{R_2}) $$
$$ \Rightarrow\,\, \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b_2} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) $$
이고, $a_1$은 렌즈 전체에서 $a$, $b_2$는 $b$이므로
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) \quad \therefore\,\, \frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) $$
라는 식이 유도됩니다.