이번엔 2학기 세특 시즌이 돌아왔습니다. 2학기 내내 안 쓰다가 이제 와서 쓰려하니 현타가 좀 와서 앞으로는 좀 열심히 써봐야겠네요. (이래놓고 안 쓸 예정)
이번에 공부할 것은 렌즈 방정식과 렌즈 제작자 공식, 가우스 결상식입니다. 이번에 파동광학 부분에 대해 공부하며 렌즈 방정식과 렌즈 제작자 공식 두 가지 식에 대해 배웠는데, 두 식을 모두 유도해볼 생각입니다. 가우스 결상식은 렌즈 제작자 공식을 유도하는데 필요해서 유도해볼겁니다.
1. 렌즈 방정식
<렌즈 방정식> :
1f=1a+1b
우선 유도가 더 쉬운 렌즈 방정식부터 유도해보도록 하겠습니다.
먼저, 이런 식으로 렌즈가 하나 있다고 가정해보겠습니다. 이때, tanα=ha=−h′b가 됩니다. 이때 −h′b에 (-)가 붙는 이유는 상이 도립이기 때문입니다. 따라서 이 식에서 배율 M=h′h=−ba임을 알 수 있습니다.
또, tanθ=−h′b−f=hf이므로 이 식에서 배율 M=h′h=−b−ff입니다.
이 두 식을 연립하면 M=−ba=−b−ff→ab−af=bf→f(a+b)=ab
∴라는 식이 유도됩니다.
2. 렌즈 제작자 공식
다음으론 렌즈 제작자 공식을 유도해보겠습니다. 그러나 이를 유도하기 전에 먼저 가우스 결상식이라는 식을 알아야하므로 이 식부터 유도해보도록 하겠습니다.
2-1. 가우스 결상식
<가우스 결상식>
\frac{n_1}{a} + \frac{n_2}{b} = \frac{n_2 - n_1}{R}
이번에는 다음과 같은 단면 렌즈를 가정해볼 것입니다.
이때, tan\,\alpha = \frac{h}{OH},\,\,tan\,\beta = \frac{h}{CH}\,\,tan\,\gamma = \frac{h}{DH}이고, \alpha,\,\beta,\,\gamma는 매우 작으므로 tan를 그냥 각으로 근사 가능합니다.
\therefore\,\,\, \alpha \approx \frac{h}{OH},\,\beta \approx \frac{h}{CH},\,\gamma \approx \frac{h}{DH}
그리고 여기서 AH는 매우 작아서 무시할 수 있습니다. 따라서 OH \approx a,\,CH \approx R,\,DH \approx b이고, 식을 다시 써보면 \alpha = \frac{h}{a},\,\beta = \frac{h}{R},\,\gamma = \frac{h}{b} 가 됩니다.
이때 \alpha + \beta = \theta_1,\, \gamma + \theta_2 = \beta \,\,\rightarrow\,\, \beta - \gamma = \theta_2 가 됩니다.
따라서 스넬 법칙을 사용해주면 n_1\cdot sin\,\theta_1 \approx n_1\cdot \theta_1 = n_2\cdot sin\,\theta_2 \approx n_2\cdot \theta_2
\Rightarrow\,\, n_1(\alpha + \beta) = n_2(\beta - \gamma) \,\,\Rightarrow\,\, n_1(\frac{h}{a} + \frac{h}{R}) = n_2(-\frac{h}{b} + \frac{h}{R})
이후 h로 양변을 나누면 \frac{n_1}{a} + \frac{n_1}{R} = -\frac{n_2}{b} + \frac{n_2}{R}
\therefore \frac{n_1}{a} + \frac{n_2}{b} = \frac{n_2 - n_1}{R} 이라는 식이 나옵니다.
이제 진짜 렌즈 제작자 공식을 유도해보겠습니다.
<렌즈 제작자 공식> :
\frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}
먼저, 이번에도 다음과 같은 렌즈를 하나 가정합니다. 이때, 렌즈의 두 면은 서로 다른 곡률을 가지고 있다는 점에 주의하도록 합니다. (각각의 곡률 = R_1, R_2)
먼저, 왼쪽 렌즈에 대해서 가우스 결상식을 쓰면 \frac{1}{a_1} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R_1}이고, 오른쪽 렌즈의 가우스 결상식에서는 왼쪽 렌즈에 의한 상이 오른쪽 렌즈에서 물체 역할을 하므로 물체의 거리는 -a_2가 됩니다.
따라서 오른쪽 렌즈에 대해서도 가우스 결상식을 쓰면 \frac{n}{-a_2} + \frac{1}{b_2} = \frac{1-n}{R_2}입니다. 이때, -a_2 = L - b_1이므로 위 식은 \frac{n}{L-b_1} + \frac{1}{b_2} = \frac{1-n}{R_2}가 됩니다.
우리는 얇은 렌즈에 대해서만 보고 있으므로 b_1 \,>>\, L이고, 따라서 \frac{n}{-b_1} + \frac{1}{b_2} = \frac{1-n}{R_2}로 근사 가능합니다.
이제 왼쪽 렌즈에서의 가우스 결상식과 오른쪽 렌즈에서의 가우스 결상식을 더하면
(\frac{1}{a_1} + \frac{n}{b_1})\,+\,(\frac{n}{-b_1} + \frac{1}{b_2})= (\frac{n-1}{R_1})\,+\,(\frac{1-n}{R_2})
\Rightarrow\,\, \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b_2} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})
이고, a_1은 렌즈 전체에서 a, b_2는 b이므로
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) \quad \therefore\,\, \frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})
라는 식이 유도됩니다.