미분방정식

 

 

오늘은 미분방정식이 무엇인가에 대해 알아보겠습니다. 미분방정식을 수학이나 물리 등(심지어 화학에서도)에서 정말 많이 사용하기 때문에 이게 뭔지에 대해 간단히 알아보고, 미분방정식의 해를 구하는 법까지 알아보도록 하겠습니다.

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미분방정식이란?

미분방정식이란 도함수를 포함하는 방정식입니다. 어떤 도함수를 포함했든, 몇 차의 도함수를 가지고 있든 간에 관계없이 도함수를 가지고만 있다면 그것이 미분방정식이라고 할 수 있습니다.

예를 들어, 우리가 일반적으로 알고 있는 방정식은 $x^2+2x+3=0$의 형태로 기술되어 $x$를 구해야 하지만, 미분방정식은 $y''+2y'+y=0$과 같은 형태로 나타나게 됩니다. 여기서 $y$라는 함수를 구하는 과정이 바로 미분방정식의 해를 구하는 것이라고 생각하면 됩니다.

 

• 미분방정식의 종류

미분방정식은 어떤 종류의 미분이 포함되어 있는지에 따라 상미분방정식과 편미분방정식 두 종류로 나뉘게 됩니다.

상미분방정식은 우리가 일반적으로 아는 미분만이 포함된 방정식으로, 

$$ \frac{dy}{dx}+y(x)=5,\;\;\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=3$$

등의 형태가 있습니다. 즉, 일변수 함수의 도함수가 포함된 것입니다.

 

편미분방정식은 편미분이 포함된 방정식으로, $\partial$(라운드)라는 기호를 쓴다는 특징이 있습니다.

$$ \frac{\partial{F(x, y)}}{\partial x}+\frac{\partial{F(x, y)}}{\partial y}=0 $$

등의 형태가 있습니다. 즉, 다변수 함수의 도함수가 포함된 것입니다.

 

• 미분방정식의 계

계는 미분방정식의 계수라고 생각하시면 됩니다, 여기서 계수는 미분방정식에 포함된 도함수 중 제일 많이 미분된 도함수의 차수라고 생각하면 됩니다. 예를 들어,

$$ y''+(\frac{dy}{dx})^2-4y=0 $$

의 형태인 미분방정식은 가장 많이 미분된 도함수가 이차($y''$)이므로 계수가 2입니다.

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미분방정식의 해

미분방정식의 해는 일반적으로 생각하는 해와 같은 의미를 갖습니다. 그냥 해라고 주장하는 무언가를 그 함수 자리에 넣었을 때 방정식이 성립하면 그게 해가 맞는거고, 그러한 해가 무엇인지 찾아가는 과정이 '미분방정식을 푸는 것'입니다.

 

• 미분방정식의 해의 종류

미분방정식의 해는 일반해, 특이해, 특수해, 자명해 총 4가지로 나뉘게 됩니다.

1. 일반해

일반해는 미분방정식의 해가 적분 상수 $C$를 포함하는 경우 일반해라고 합니다. 일반적으로 미분방정식을 풀었을 때 나오는 식이라고 생각하면 됩니다. 예를 들어,

$$ \frac{dy}{dx} = x $$

라는 식이 있다고 한다면 어떻게 해를 잘 구해보면 해는

$$ y = \frac{1}{2}x^2+C $$

가 되게 됩니다. 이 해에는 적분상수 $C$가 그대로 있기 때문에 일반해가 됩니다.

 

2. 특수해

특수해는 일반해에 초기조건이 더해진 경우 특수해라고 하게 됩니다. 예를 들어, 앞선 식에 $y(0) = 0$이라는 조건이 있다고 생각해보면, $C$는 당연히 0이 되겠죠. 이 경우 위 미분방정식의 해는 $$ y = \frac{1}{2}x^2 $$가 되고, 이를 특수해라고 합니다. 초기 조건이 있어야 하기에 주로 물리학 등에서 자주 보입니다.

 

3. 특이해

특이해는 일반해로 표현되지 않는 해를 말합니다. 예를 들어,

$$ (\frac{dy}{dx})^2-x\frac{dy}{dx}+y=0 $$

이라는 형태의 미분방정식이 있다면 (후에 기술하겠지만) 이를 잘 풀었을 때 $y = cx-c^2$이라는 형태의 해가 나오게 됩니다. 그러나, 이 미분방정식에 $ y = \frac{1}{4}x^2 $이라는 식을 넣어도 해가 됨을 알 수 있습니다.

$$ \because (\frac{1}{2}x)^2-x(\frac{1}{2}x)+\frac{1}{4}x^2=0 $$

 

그러나 $ y = \frac{1}{4}x^2 $이라는 식은 $y = cx-c^2$의 형태로 절대 나타낼수가 없습니다. 따라서 이때 $ y = \frac{1}{4}x^2 $는 특이해가 되게 됩니다.

 

4. 자명해

마지막으로 자명해는 누가 봐도 직관적으로 빠르게 알아낼 수 있는 해를 말합니다. 예를 들어,

$$ \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0 $$

이라는 형태의 미분방정식이 있다면, 이의 일반해는 바로 찾아낼 수 없지만 $y = 0$이면 식이 성립함은 바로 파악할 수 있죠. 이런 경우에 $y = 0$은 자명해가 되는 것입니다.

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미분방정식의 해 구하기

이제 미분방정식의 해를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 일계 미분방정식은 변수분리법을 이용해 쉽게 해를 구할 수 있습니다. 변수분리법은 좌변과 우변으로 두 변수들을 분리시켜 이를 적분함으로써 미분방정식의 해를 구하는 것을 의미합니다. 예를 들어,

$$ g(y)\frac{dy}{dx} = f(x) $$

라는 식이 있다면 이를

$$ g(y)dy = f(x)dx $$

의 형태로 고친 뒤 적분하여

$$ G(y) = F(x) + C $$

의 형태로 만든 뒤 $y$를 구하는 것입니다.

 

이제 예제를 통해 변수분리법을 적용해보겠습니다.

예제 1) $ (1+x)dy = ydx $

$$ \rightarrow\;\;\frac{1}{y}dy = \frac{1}{1+x}dx\;\;\rightarrow\;\;ln|y| = ln|x+1|+C $$

$$ \therefore\;y = e^{ln|x+1|+C} = \pm e^c\cdot(x+1) $$

 

예제 2) $\frac{dy}{dx} = y^2-4 $

$$ \rightarrow\;\;\frac{1}{y^2-4}dy = dx\;\;\rightarrow\;\;\frac{1}{4}(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}) = dx $$

$$ \rightarrow\;\;ln|\frac{y-2}{y+2}| = 4x+C\;\;\rightarrow\;\;\frac{y-2}{y+2} = e^{4x+C}$$

$$ y-2 = y\cdot e^{4x+C} -+2e^{4x+C}\;\;\rightarrow\;\;y(1-e^{4x+C}) = 2(1+e^{4x+C}) $$

$$ \therefore\;y = 2\cdot\frac{1-e^{4x+C}}{1+e^{4x+C}} = 2\cdot\frac{1-Ce^{4x}}{1+Ce^{4x}} $$

 

참고로, 위의 예제 풀이를 보면 알 수 있듯이 어차피 적분상수 $C$는 어떤 상수이든 될 수 있으므로 해를 끝까지 유도하고 상수 부분은 $C$로 바꿔서 많이들 표현하게 됩니다.