일계 선형미분방정식

2024.07.20 - [수학] - 미분방정식

미분방정식

지난번엔 미분방정식에 대해 기초적인 이해와 변수분리법을 통한 미분방정식의 풀이에 대해 공부해봤습니다. 이번 시간에는 일계 선형미분방정식의 풀이법에 대해 알아보고 풀이법의 유도를 해보겠습니다.

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일계 선형미분방정식이란?

우선 선형미분방정식이 무엇인지부터 알아봅시다. 선형미분방정식의 정의는 y가 x에 대한 함수일 때, y의 n차미분항들과 스칼라가 선형결합된 형태의 꼴을 의미합니다. 말로만 하면 뭔 헛소리인가 싶으나 수식으로 표현해보면 다음과 같이 나타나게 됩니다.
$$ a_n(x)\cdot y^{(n)}+a_{n-1}(x)\cdot y^{(n-1)}+\,...\,+a_1(x)\cdot y'+a_0(x)\cdot y+f(x)=0 $$
여기서 중요한 건, y의 도함수의 계수가 모두 x에만 관한 식이어야 하고, 우변이 0일 때 상수항도 x에만 관한 식이어야 한다는 겁니다.
 
그럼 일계 선형미분방정식은 선형미분방정식 중 일계라는거겠죠. 그러면 y가 최대 한번 미분되어야 하니 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.
$$ a_1(x)\cdot y'+a_0(x)\cdot y+f(x)=0 $$
이는 일반형이고, 표준형으로도 고칠 수 있습니다. 표준형은 $y'$의 계수를 1로 만든 형태를 의미합니다.
$$ y'+P(x)\cdot y = f(x) $$
일계 선형미분방정식을 풀 때는 위와 같은 표준형으로 바꿔줘야 합니다.

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일계 선형미분방정식의 풀이

이제 일계 선형미분방정식을 어떻게 푸는지 유도해보도록 하겠습니다. 앞서 말했듯이 표준형으로 풀어야 합니다.
$$ y'+P(x)\cdot y = f(x) $$
그런데 이 식, 자세히 보면 $ y'+P(x)\cdot y $ 부분이 약간 곱미분같이 생기지 않았나요? (암튼 그렇게 생겼습니다.)
그래서 여기에 $u(x)$라는 함수를 곱해주고 이게 곱미분이 될 수 있게 $u(x)$를 조정해줄 겁니다.
$$ \rightarrow\;\;u(x)\cdot y'+u(x)P(x)\cdot y = u(x)f(x) $$
$$ Let\;\;u(x)\cdot y'+u(x)P(x)\cdot y = \frac{d}{dx}(u(x)\cdot y)\;\;\rightarrow\;\;u(x)\cdot y'+u(x)P(x)\cdot y = u(x)\cdot y'+u'(x)\cdot y $$
$$ \therefore\; u'(x) = u(x)\cdot P(x)\;\;\rightarrow\;\;\frac{u'(x)}{u(x)} = P(x)\;\;\rightarrow\;\;ln|u(x)| = \int P(x) $$
$$ \rightarrow\;\;u(x) = e^{\int P(x)}\;\;\rightarrow\;\;e^{\int P(x)}\cdot y'+e^{\int P(x)}P(x)\cdot y = e^{\int P(x)}\cdot f(x) $$
$$ \therefore\; e^{\int P(x)}\cdot y = \int e^{\int P(x)}\;\;(\because\;e^{\int P(x)}\cdot y' + e^{\int P(x)}P(x)\cdot y = \frac{d}{dx}(e^{\int P(x)}\cdot f(x))) $$
 
따라서 이를 정리하면 $ y'+P(x)\cdot y = f(x) $ 형태의 일계 선형미분방정식의 해는 
$$ \frac{d}{dx}(e^{\int P(x)}\cdot y) = f(x)\qquad\therefore\;\;y = \frac{\int ({f(x) e^{\int P(x)}})}{e^{\int P(x)}} $$
로 나타낼 수 있습니다.
이때, $ e^{\int P(x)} $ 부분의 적분 시에는 적분상수를 쓰지 않음에 유의하셔야 합니다. 저기는 어차피 써봤자 $ e^C $ 꼴이 되어서 상수 처리되기 때문이죠.
 
이제 예제를 통해 이게 실제로 맞는지를 확인해보겠습니다.
 
예제 1) $ y'+2xy = 0 $
$$ \rightarrow\;\;y = \frac{\int 0}{e^{\int{2x}}} = \frac{C}{e^{x^2}} = Ce^{-x^2} $$
실제 식에 대입해보면 $ -2x\cdot Ce^{-x^2}+2x\cdot Ce^{-x^2} = 0 $
 
예제 2) $ xy'-4y = x^6e^x $
$$ \rightarrow\;\;y'-\frac{4}{x}y=x^5e^x\;\;\rightarrow\;\;P(x) = -\frac{4}{x} $$
$$ e^{\int{-\frac{4}{x}}} = e^{-4ln\,x} = x^{-4}\;\;\rightarrow\;\;y = \frac{\int {x\cdot e^x}}{e^{\int{-\frac{4}{x}}}} $$
$$ = \frac{(x-1)e^x+C}{x^{-4}}\qquad\therefore\;\;y = x^4(x-1)e^x+Cx^4 $$
실제 식에 대입해보면 $ x\cdot ((x^5-x^4)e^x+(5x^4-4x^3)e^x+4Cx^3)-4((x^5-x^4)e^x+Cx^4) $
$ =e^x(x^6-x^5+5x^5-4x^4-4x^5+4x^4)+4Cx^4-4Cx^4=x^6e^x $
 
오늘은 이렇게 일계 선형미분방정식에 대해 알아봤습니다.