극좌표계에서 곡선의 길이와 넓이

미적분을 배우며 직교좌표계에서 곡선의 길이와 넓이를 구하는 방법에 대해 알게 되었는데요. 극좌표계에서는 이를 어떻게 구하는지가 궁금해져 이를 알아보게 되었습니다.

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극좌표계에서 곡선의 길이

먼저, 극좌표계에서 곡선의 길이를 구하는 방법을 알아보도록 하겠습니다. 직교좌표계에서 곡선의 길이를 구하는 방식은 다음과 같습니다.

$$ l = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt $$

$$ = \int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2}dx $$

 

극좌표계에서도 $ x $와 $ y $ 성분을 구해 위 식에 대입하여 곡선의 길이를 구해볼 것입니다. 극좌표계에서 $ x $,$ y $는 다음과 같습니다.

$$ x = rcos\,\theta,\quad y = rsin\,\theta$$

이를 매개변수 $t$로 나타냈을 때 곡선의 길이 식에 넣으면

$$ \frac{dx}{d\theta} = -rsin\,\theta+\frac{dr}{d\theta}cos\,\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta} = rcos\,\theta + \frac{dr}{d\theta} sin\,\theta $$

$$ \rightarrow\;\;(\frac{dx}{d\theta})^2 = (rsin\,\theta)^2-2rcos\,\theta sin\,\theta+(\frac{dr}{d\theta}cos\,\theta)^2 $$

$$ \rightarrow\;\;(\frac{dy}{d\theta})^2 = (rcos\,\theta)^2+2rcos\,\theta sin\,\theta+(\frac{dr}{d\theta}sin\,\theta)^2 $$

$$ \rightarrow\;\; (\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 = r^2(sin^2\,\theta + cos^2\,\theta) + (\frac{dr}{d\theta})(sin^2\,\theta + cos^2\,\theta) = r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2 $$

$$ \therefore\;l = \int_{a}^{b} \sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta $$

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극좌표계에서 곡선의 넓이

다음으로 곡선의 넓이를 구하는 방법을 알아보겠습니다. 직교좌표계에서는 곡선을 작은 직사각형들로 쪼개 $ a $부터 $ b $까지 곡선의 넓이를 다음과 같은 식으로 넓이를 구했습니다.

$$ S = \int_{a}^{b} f(x)dx $$

극좌표계에서는 이와 유사하게 곡선을 미소 $ \theta $에 따라 나눠야하므로 부채꼴들로 근사해줄 것입니다. 다음과 같이 말이죠.

극방정식의 부채꼴 근사

 

이때, 부채꼴의 반지름을 $ r $ or $ f(\theta) $, 중심각의 크기를 $ d\theta $라고 하면 부채꼴 하나의 넓이는

$$ \frac{1}{2}(f(\theta))^2d\theta $$

가 되고, 이를 적분하여 $\theta$가 $a$일 때부터 $b$일 때까지의 넓이를 구해주면 다음과 식이 됩니다.

$$ S = \int_{a}^{b} \frac{1}{2}(f(\theta))^2d\theta $$

 

만약, 두 곡선으로 둘러싸였을 때 $a$일 때부터 $b$일 때까지의 넓이를 구해주면 큰 부분의 넓이에서 작은 부분의 넓이를 빼줘야겠죠. 따라서 이런 식이 나오게 됩니다.

$$ S = \int_{a}^{b} |\frac{1}{2}(f(\theta))^2 - (g(\theta))^2| d\theta $$

 

이렇게 극좌표에서 곡선의 길이와 넓이를 구해보았습니다.