오랜만에 써보는 티스토리네요. 이번엔 물리 세특을 위해 진행했던 맥스웰 방정식 유도를 해보겠습니다. 사실 가우스 법칙 증명은 수업시간에 배웠고 자기 가우스 법칙 증명이 궁금해서 친구(에게 거의 외주를 맡겨놓고)랑 같이 하긴 했지만 뭐 진행하긴 했으니까요;; (+ 앙페르 법칙 증명은 얽혀있는 게 많아 아직 하지도 않았습니다)
그래서 오늘은 일단 가우스 법칙 증명부터 해보겠습니다.
맥스웰 방정식이란?
먼저, 맥스웰 방정식이 뭔지부터 알아보겠습니다. 맥스웰 방정식은 전자기학에서 전기장과 자기장에 관한 4개의 방정식을 의미하며, 1865년에 제임스 클러크 맥스웰이 유도하였습니다. 단 4개의 방정식으로 전자기학의 모든 걸 설명할 수 있는 아름다운 방정식이라고 많이들 하며, 식의 형태는 적분형과 미분형으로 나누어집니다.
각각의 식들은 다음과 같습니다.
<적분형>
1. 가우스 법칙 (Gauss's Law)
$$ \oint\vec{E}\cdot d\vec{A}\,=\,\frac{q_{encl}}{\epsilon_0} $$
2. 가우스 자기 법칙 (Gauss's Law for Magnetism)
$$ \oint\vec{B}\cdot d\vec{A}\,=\,0 $$
3. 패러데이의 법칙 (Faraday's Law)
$$ \oint\vec{E}\cdot d\vec{l}\,=\,-\frac{d\Phi_B}{dt} $$
4. 일반화된 앙페르 법칙 (Generalized Ampere's Law)
$$ \oint\vec{B}\cdot d\vec{l}\,=\,\mu_0 I_{encl}\,+\,\mu_0\,\epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt} $$
<미분형>
1. 가우스 법칙 (Gauss's Law)
$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{E}\,=\,\frac{\rho}{\epsilon_0} $$
2. 가우스 자기 법칙 (Gauss's Law for Magnetism)
$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{B}\,=\,0 $$
3. 패러데이의 법칙 (Faraday's Law)
$$ \vec{\nabla}\times\vec{E}\,=\,-\frac{\partial{B}}{\partial{t}} $$
4. 일반화된 앙페르 법칙 (Generalized Ampere's Law)
$$ \vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\cdot\vec{J}\,+\,\mu_0\epsilon_0\frac{dE}{dt} $$
위의 적분형은 벡터 해석학(Vector Analysis)을 이용하면, 아래와 같이 델 연산자를 포함한 식으로 간략히 나타낼 수 있는데, 복잡한 기호가 사라져서 가독성이 높고, 적분형 보다 활용하기 쉬워서 많이 사용됩니다.
이제 각 식들의 의미를 알아보도록 하겠습니다.
1. 가우스 법칙
이 식은 전기장의 발산에 대해 이야기합니다. 전기장의 발산을 공간에 대해 적분하면 그 공간 안의 전하량을 알 수 있다는 의미이므로 전기장을 발생시키는 근원이 전하라는 뜻을 의미합니다.
2. 가우스 자기 법칙
이 식은 자기장의 발산에 대해 이야기합니다. 자기장의 발산을 공간에 대해 미분하면 0이 된다. 즉, 자기장은 발산하지 않는다는 의미이므로 자기 홀극은 존재하지 않는다고 받아들일 수 있습니다.
3. 패러데이의 법칙
이 식은 전기장의 회전에 대해 이야기합니다. 자속밀도가 변화하게 되면 전기장이 공간에 따라 변화하게 되므로 힘이 변하게 되 전위차가 발생한다는 의미이다. 즉, 자기장의 변화가 전류를 만든다는 뜻입니다.
4. 일반회된 앙페르 법칙
이 식은 자기장의 회전에 관한 식으로, 전류가 흐를 때 자기장이 생성된다는 앙페르의 법칙에 맥스웰이 전기장의 변화도 자기장을 만든다는 내용을 추가한 것입니다. 왜 이런 내용인지는 나중에 알아보겠습니다. 따라서 전류와 전기장의 변화가 자기장을 만든다는 뜻입니다.
가우스 법칙 유도
이제 가우스 법칙을 유도해보도록 하겠습니다. 가우스 법칙의 식은 다음과 같습니다.
$$ \oint\vec{E}\cdot d\vec{A}\,=\,\frac{q_{encl}}{\epsilon_0} $$
$$ pf)\,\,\Phi\,=\,\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}\,=\,\oint{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\cdot d\vec{A}} $$
이를 증명하려면 구면좌표계를 써야하므로 구면좌표계에 대해 잠시 알아보겠습니다. 구면좌표계는 직교좌표계와 달리 $ r,\,\theta,\,\phi $를 사용합니다. 아래 그림과 같이 $r$은 원점으로부터의 거리, $\theta$는 z축을 기준으로 내린 각도, $\phi$는 x축을 기준으로 했을 때 시계 반대 방향으로 돌린 각도입니다.
이제 저 구에 작은 미소면적 $dA$가 있다고 가정하겠습니다.
그러면 저 파란 부분의 면적은 $dA$가 되고, 원에서 $l=r\theta$이므로 1번의 길이는 $r\cdot d\theta$가 되고, 2번의 길이는 $r\,sin\theta\cdot d\phi$가 됩니다. 따라서 $dA\,=\,r^2\,sin\theta\cdot d\theta\cdot d\phi$라는 식을 얻을 수 있습니다. 이를 앞선 식에 넣어보면
$$ \Phi\,=\,\oint{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\cdot r^2\,sin\theta\cdot d\theta\cdot d\phi} $$
$$=\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\cdot \oint sin\theta\,d\theta \cdot \oint d\phi $$
이때, 아래 사진에서 볼 수 있듯이 $\theta$와 $\phi$를 폐적분하려면 $\theta$는 $0$부터 $\pi$, $\phi$는 $0$부터 $2\pi$까지 적분해주어야 합니다.
이후 폐적분을 적분으로 바꿔 진행해 주면 됩니다.
$$ \Phi\,=\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\times \int_{0}^{\pi} sin\theta\,d\theta \times \int_{0}^{2\pi} d\Phi\,=\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\cdot 2\cdot 2\pi\,=\,\frac{q}{\epsilon_0}$$
$$ \therefore \quad \Phi\,=\,\oint{\vec{E}\cdot d\vec{A}}\,=\,\frac{q}{\epsilon_0} $$
오늘은 이렇게 맥스웰 방정식의 4가지 식 중 첫 번째로 가우스 법칙을 증명해 보았습니다. 다음에는 가우스 자기 법칙과 일반화된 앙페르 법칙까지 이어서 증명해 보도록 하겠습니다.
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