원형 도선에서 y축의 위치에 따른 자기장의 세기 공식 유도

학교에서 물리 수업 시간에 원형 도선에서 x축의 위치에 따른 자기장의 세기에 대한 공식을 배우고, 이 과정을 유도해보기도 했습니다. 원형 도선에서 x축 위치에 따른 자기장의 세기는 다음과 같습니다.

 $$ B_{x} = \frac{\mu _{0}Ia^{2}}{2(x^2+a^2)^\frac{3}{2}} $$

이 공식에 대해 배우고 문득, x축이 아닌 y축 같은 다른 축에서의 위치에 따른 자기장의 세기는 어떻게 변할지가 궁금해졌습니다. 따라서 y축 위치에 따른 자기장의 세기에 관한 공식을 직접 도출해보기로 하였습니다.

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우선 해당 공식을 도출해보기에 앞서서 실제로 y축의 위치에 따른 자기장의 세기가 어떻게 변할것인지를 생각해보았습니다. 이는 일반적인 자기장의 세기 식만으로도 충분히 유추가 가능할 것이라 생각해 자기장의 세기 식을 보고 생각해보았습니다.

자기장의 세기는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

$$ B = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{r^2} $$

우리는 자기장의 '세기'를 구할 것이기 때문에 모두 양수만 나와야 할 것입니다. 또, 자기장의 세기는 도선까지의 거리의 제곱에 반비례하기 때문에 도선에 가까워질수록 자기장의 세기는 양의 무한대로 발산하고, 도선으로부터 멀어질수록 자기장의 세기가 0으로 점점 수렴할 것이라고 생각했습니다.

 

이를 바탕으로 대충 그려본 y축 위치에 따른 자기장의 세기는 다음과 같습니다.

y축 : y축에서의 위치, B축 : 자기장의 세기, a = 원형 도선의 반지름을 나타낸다.

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이후 실제로 공식 유도를 해보았습니다. 먼저, 원형 도선을 하나 가정합니다. 도선의 반지름은 $a$라고 하였고, y축 위치는 $y$로 표현하겠습니다. 원형 도선에는 전류가 시계 반대 방향으로 흐른다고 가정하였습니다.

 

이에 따라, 원형 도선의 영역 내부에서는 자기장이 수직하게 들어가는 방향으로 작용하고, 외부에서는 자기장이 수직하게 나오는 방향으로 작용해 두 영역에서의 식이 달라지게 됩니다. 뭔가 부호 하나 차이일 것 같은 느낌은 들지만..? 일단 원형 도선 내부와 외부 두 영역으로 나누어 유도를 진행했습니다.

 

먼저, 원형 도선 외부의 한 점에서, 즉 $y > a$일때의 식을 유도해보겠습니다.

 

원형 도선 외부에서의 한 점은 다음과 같이 그릴 수 있습니다. 이때, 도선 위의 임의의 한 점을 잡은 후 외부에서의 점에서 도선 위의 점까지의 거리를 $r$이라고 두면 저 도선 위의 점이 외부의 점에 미치는 자기장의 세기를 알 수 있습니다.

 

반지름과 접선이 수직하기 때문에 피타고라스 정리를 이용하면 $r^{2}$을 구할 수 있습니다.

$r^{2} = y^{2}-a^{2}$이겠죠. 이를 아까 맨 위에서 본 자기장의 세기 식에 대입해보겠습니다.

 

$$ dB = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{r^2} $$

이고,

$$r^{2} = y^{2}-a^{2}$$

이므로

$$ dB_{y} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{y^{2}-a^{2}} $$

입니다.

 

임의의 도선 위의 점이 도선 외부의 한 점에 가하는 자기장의 세기를 알게 되었습니다. 이제 도선 위의 모든 점에서 외부의 점에 가하는 자기장의 세기를 구해야 합니다. 이때, 원형 도선은 도선 외부의 임의의 점을 지날 수 있는 한 지름에 대해 대칭입니다. 따라서 대칭인 점들에 의해 자기장이 상쇄되며 수직으로 들어가는 방향의 자기장만 남게 되므로, $ r^{2} $에 의한 요소 (방금 구한 거)만 고려한 뒤, 폐적분을 진행해주도록 하겠습니다.

 

폐적분이란, 곡선에 대한 적분을 의미합니다. 쉽게 말해 선에 있는 모든 점에 대해 적분을 구하는 것인데 너무 자세히는 알 필요 없습니다. 우리는 원에 대해 폐적분을 진행할 것이므로 원의 둘레인 $ 2{\pi}{r} $을 곱해줄 것이라는 것 정도만 알면 됩니다.

 

따라서 위에서 구한 식에 $ 2{\pi}{r} $을 곱한 식이 $ y > a $일 때 y축 위치에 따른 자기장의 세기이고, 이 식은 다음과 같습니다.

$$ B_{y} = \frac{\mu_{0}}{2}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{y^{2}-a^{2}} $$

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도선 외부에서의 식을 유도했으니 내부에서도 유도해봐야겠죠.

내부에서의 한 점을 잡고 임의의 도선 위의 점까지의 거리인 $ r $을 표현해보면 다음과 같은 그림을 그릴 수 있습니다.

 

다만.. 이번에 잡는 $r$은 아까 도선 외부에서 잡은 $r$의 방식과는 다르게 위치를 잡습니다. 원 외부에서는 어느 곳이든 접선을 긋기만 한다면 수직인 각이 생기기 때문에 큰 문제가 없지만 내부에서는 어딜 잡아도 수직인 점을 찾을 수가 없습니다. 따라서, 거리가 $y$인 점을 하나 잡고 그 점과 수직인 선분을 그려 $r$을 정하는 방식으로 $r$을 정하기로 하였습니다.

 

이후 과정은 모두 똑같이 진행됩니다. 여기서는 $r^{2} = a^{2}-y^{2}$이 됩니다. 따라서 이 식을 똑같이 대입하면

$$ dB_{y} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{a^{2}-y^{2}} $$

이라는 식을 얻어낼 수 있습니다.

 

똑같이 폐적분도 진행하겠습니다. 위 식에 $ 2{\pi}{r} $을 곱하면 $y < a$일 때의 y축 위치에 따른 자기장의 세기 공식이 나오고 이 식은 다음과 같습니다.

$$ B_{y} = \frac{\mu_{0}}{2}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{a^{2}-y^{2}} $$

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공식 유도 결과를 보니 $y > a$일 때는

$$ B_{y} = \frac{\mu_{0}}{2}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{y^{2}-a^{2}} $$

이고, $y < a$일 때는

$$ B_{y} = \frac{\mu_{0}}{2}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{a^{2}-y^{2}} $$

입니다.

 

따라서 두 식을 하나로 합쳐주면 

$$ B_{y} = \frac{\mu_{0}}{2}\cdot \frac{I dl \times \hat{r}}{|a^{2}-y^{2}|} $$

이라고 정리할 수 있겠습니다.

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이후 그래프를 그려주는 사이트인 Desmos를 활용해 제가 처음에 예측한 그래프의 형태가 맞는지를 확인해보기로 하였습니다. Desmos에 위 식을 입력했을 때 나온 개형은 다음과 같습니다.

Desmos로 그린 그래프의 그림 (내 예측이 아주 정확하게 들어맞은 걸 볼 수 있다.)

 

Desmos로 그린 그래프의 개형과 제 그래프의 개형을 보니 상당히 유사하게 생겼다는 것을 알 수 있었습니다.

 

이로써 원형 도선에서 y축의 위치에 따른 자기장의 세기 공식을 직접 도출해보았습니다. 처음 시작할때는 자료도 안 나오고 어떻게 해야할 지 막막했는데 막상 그냥 x축 공식에 그대로 대입해보니 생각보다 쉬운 과정을 통해 도출되어 다행이었던 것 같습니다. 앞으로도 궁금한 식이 있거나 하면 직접 유도해보는 것도 나쁘지 않을 것 같습니다.