맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 유도 - (2) 가우스 자기 법칙(Gauss's Law for Magnetism)

 

2024.09.18 - [물리학/전자기학] - 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 유도 - (1) 가우스 법칙(Gauss's Law)

맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 유도 - (1) 가우스 법칙(Gauss's Law)

오늘은 저번에 진행한 가우스 법칙 증명에 이어 가우스 자기 법칙을 유도해보겠습니다.

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가우스 자기 법칙은 다음과 같습니다.

$$ \oint\vec{B}\cdot d\vec{A}\,=\,0 $$

이 식을 증명하기 위해서는 원통좌표계를 사용할 것입니다. 원통좌표계의 단위벡터는 $\rho$, $\phi$, $z$가 있습니다. 아래 사진과 같이, $\rho$는 원점으로부터의 거리, $\phi$는 (구형좌표계와 같이) x축을 기준으로 했을 때 시계 반대 방향으로 돌린 각도, $z$는 원점으로부터의 높이를 의미합니다.

원통좌표계의 단위벡터

 

또, 자기장은 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

$$ \vec{B}\,=\,\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{q\cdot \vec{v}\times\vec{r}}{r^3} $$

앞서 그린 빨간 점의 위치가 $(x, y, z)$라고 하면 이 점의 위치는 $x\hat{i}+y\hat{j}+k\hat{k}$가 됩니다.

구면좌표계 위의 미소면적

 

 

빨간 점이 있는 곳에 미소면적 $dA$를 두면 미소면적의 가로 길이는 $\rho\cdot d\phi$, 세로 길이는 $dz$입니다. 또, 원통좌표계의 중심에 전하가 $\vec{v}$로 움직인다고 하면 $\vec{v}\,=\,v\cdot\hat{k}$라고 쓸 수 있습니다.

 

이제 $\vec{B}$를 구하기 위해 $\vec{v}\times\vec{r}$을 계산하면 

$$ \vec{v}\times\vec{r}\,=\,\begin{pmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k} \\0&0&v \\x&y&z \end{pmatrix}\,=\,\hat{i}(0\cdot z-v\cdot y)+\hat{j}(v\cdot x-0\cdot z)+\hat{k}(0\cdot y-0\cdot x) $$

$$ =\,-yv\cdot\hat{i}+xv\cdot\hat{j} $$

이후 미소 면적의 가로와 세로 길이를 곱해 면적을 구하면 $dA\,=\,\rho\,d\phi\cdot dz\cdot\hat{\rho}$가 됩니다. 여기서 방향이 $\hat{\rho}$인 이유는 면적 벡터는 면적에 수직인 방향이고, 미소 면적에 수직인 방향이 $\hat{\rho}$이기 때문입니다.

 

이제 가우스 자기 법칙에 따라 $ \oint{\vec{B}\cdot d\vec{A}} $를 구해보겠습니다.

$$\oint{\vec{B}\cdot d\vec{A}}\,=\,\oint{\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q}{r^3}\cdot(-yv\cdot\hat{i}+xv\cdot\hat{j})\cdot \rho d\phi\cdot dz\cdot \hat{\rho}} $$

그리고 단위벡터가 들어있는 부분들만 계산을 진행해보면

$$ (-yv\cdot\hat{i}+xv\cdot\hat{j})\cdot\hat{\rho}\,=\,yv\cdot\hat{\rho}\cdot\hat{i}+xv\cdot\hat{\rho}\cdot\hat{j} $$

 

여기서 $\hat{\rho}\cdot\hat{i}$는 $\hat{\rho}$를 $\hat{i}$에 대해 내적한 것이므로 $cos\,\phi$가 되고, $\hat{\rho}\cdot\hat{j}$는 $\hat{\rho}$를 $\hat{j}$에 대해 내적한 것이므로 $sin\,\phi$가 됩니다.

$$ cos\,\phi\,=\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad sin\,\phi\,=\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

$$ \rightarrow\,\,yv\cdot\hat{\rho}\cdot\hat{i}+xv\cdot\hat{\rho}\cdot\hat{j}\,=\,-yv\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+xv\cdot\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\,=\,0$$

$$ \therefore\,\,\oint{\vec{B}\cdot d\vec{A}}\,=\,0 $$

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오늘은 가우스 자기 법칙을 증명해보았습니다. 패러데이의 법칙은 경험 법칙이라 딱히 할 게 없을 것 같고 일반화된 앙페르 법칙 증명이 문제인데 아직 안 해본데다가 여기 얽혀있는 정리들이 꽤 많아서 해야할 게 많습니다. 그래도 일단 천천히 필요한 정리들부터 공부해보며 증명을 이해하는 걸 목표로 하겠습니다.