맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 유도 - (1) 가우스 법칙(Gauss's Law)

 

오랜만에 써보는 티스토리네요. 이번엔 물리 세특을 위해 진행했던 맥스웰 방정식 유도를 해보겠습니다. 사실 가우스 법칙 증명은 수업시간에 배웠고 자기 가우스 법칙 증명이 궁금해서 친구(에게 거의 외주를 맡겨놓고)랑 같이 하긴 했지만 뭐 진행하긴 했으니까요;; (+ 앙페르 법칙 증명은 얽혀있는 게 많아 아직 하지도 않았습니다) 

그래서 오늘은 일단 가우스 법칙 증명부터 해보겠습니다.

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맥스웰 방정식이란?

먼저, 맥스웰 방정식이 뭔지부터 알아보겠습니다. 맥스웰 방정식은 전자기학에서 전기장과 자기장에 관한 4개의 방정식을 의미하며, 1865년에 제임스 클러크 맥스웰이 유도하였습니다. 단 4개의 방정식으로 전자기학의 모든 걸 설명할 수 있는 아름다운 방정식이라고 많이들 하며, 식의 형태는 적분형과 미분형으로 나누어집니다.

 

각각의 식들은 다음과 같습니다.

<적분형>

1. 가우스 법칙 (Gauss's Law)

$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}\,=\,\frac{q_{encl}}{\epsilon_0}$$

2. 가우스 자기 법칙 (Gauss's Law for Magnetism)

$$\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}\,=\,0$$

3. 패러데이의 법칙 (Faraday's Law)

$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}\,=\,-\frac{d\Phi_B}{dt}$$

4. 일반화된 앙페르 법칙 (Generalized Ampere's Law)

$$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}\,=\,\mu_0 I_{encl}\,+\,\mu_0\,\epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$$

 

<미분형>

1. 가우스 법칙 (Gauss's Law)

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{E}\,=\,\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

2. 가우스 자기 법칙 (Gauss's Law for Magnetism)

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{B}\,=\,0$$

3. 패러데이의 법칙 (Faraday's Law)

$$\vec{\nabla}\times\vec{E}\,=\,-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}$$

4. 일반화된 앙페르 법칙 (Generalized Ampere's Law)

$$\vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\cdot\vec{J}\,+\,\mu_0\epsilon_0\frac{dE}{dt}$$

 

위의 적분형은 벡터 해석학(Vector Analysis)을 이용하면, 아래와 같이 델 연산자를 포함한 식으로 간략히 나타낼 수 있는데, 복잡한 기호가 사라져서 가독성이 높고, 적분형 보다 활용하기 쉬워서 많이 사용됩니다.

 

이제 각 식들의 의미를 알아보도록 하겠습니다.

1. 가우스 법칙

이 식은 전기장의 발산에 대해 이야기합니다. 전기장의 발산을 공간에 대해 적분하면 그 공간 안의 전하량을 알 수 있다는 의미이므로 전기장을 발생시키는 근원이 전하라는 뜻을 의미합니다.

 

2. 가우스 자기 법칙

이 식은 자기장의 발산에 대해 이야기합니다. 자기장의 발산을 공간에 대해 미분하면 0이 된다. 즉, 자기장은 발산하지 않는다는 의미이므로 자기 홀극은 존재하지 않는다고 받아들일 수 있습니다.

 

3. 패러데이의 법칙

이 식은 전기장의 회전에 대해 이야기합니다. 자속밀도가 변화하게 되면 전기장이 공간에 따라 변화하게 되므로 힘이 변하게 되 전위차가 발생한다는 의미이다. 즉, 자기장의 변화가 전류를 만든다는 뜻입니다.

 

4. 일반회된 앙페르 법칙

이 식은 자기장의 회전에 관한 식으로, 전류가 흐를 때 자기장이 생성된다는 앙페르의 법칙에 맥스웰이 전기장의 변화도 자기장을 만든다는 내용을 추가한 것입니다. 왜 이런 내용인지는 나중에 알아보겠습니다. 따라서 전류와 전기장의 변화가 자기장을 만든다는 뜻입니다.

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가우스 법칙 유도

이제 가우스 법칙을 유도해보도록 하겠습니다. 가우스 법칙의 식은 다음과 같습니다.

$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}\,=\,\frac{q_{encl}}{\epsilon_0}$$

$$pf)\,\,\Phi\,=\,\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}\,=\,\oint{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\cdot d\vec{A}}$$

이를 증명하려면 구면좌표계를 써야하므로 구면좌표계에 대해 잠시 알아보겠습니다. 구면좌표계는 직교좌표계와 달리 $r,\,\theta,\,\phi$를 사용합니다. 아래 그림과 같이 $r$은 원점으로부터의 거리, $\theta$는 z축을 기준으로 내린 각도, $\phi$는 x축을 기준으로 했을 때 시계 반대 방향으로 돌린 각도입니다.

구면좌표계의 단위벡터

 

이제 저 구에 작은 미소면적 $dA$가 있다고 가정하겠습니다.

구면좌표계 위의 미소면적

 

그러면 저 파란 부분의 면적은 $dA$가 되고, 원에서 $l=r\theta$이므로 1번의 길이는 $r\cdot d\theta$가 되고, 2번의 길이는 $r\,sin\theta\cdot d\phi$가 됩니다. 따라서 $dA\,=\,r^2\,sin\theta\cdot d\theta\cdot d\phi$라는 식을 얻을 수 있습니다. 이를 앞선 식에 넣어보면 

$$\Phi\,=\,\oint{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\cdot r^2\,sin\theta\cdot d\theta\cdot d\phi}$$

$$=\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\cdot \oint sin\theta\,d\theta \cdot \oint d\phi$$

이때, 아래 사진에서 볼 수 있듯이 $\theta$와 $\phi$를 폐적분하려면 $\theta$는 $0$부터 $\pi$, $\phi$는 $0$부터 $2\pi$까지 적분해주어야 합니다.

각도별 폐적분 구간

 

이후 폐적분을 적분으로 바꿔 진행해 주면 됩니다.

$$\Phi\,=\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\times \int_{0}^{\pi} sin\theta\,d\theta \times \int_{0}^{2\pi} d\Phi\,=\,\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\cdot 2\cdot 2\pi\,=\,\frac{q}{\epsilon_0}$$

$$\therefore \quad \Phi\,=\,\oint{\vec{E}\cdot d\vec{A}}\,=\,\frac{q}{\epsilon_0}$$

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오늘은 이렇게 맥스웰 방정식의 4가지 식 중 첫 번째로 가우스 법칙을 증명해 보았습니다. 다음에는 가우스 자기 법칙과 일반화된 앙페르 법칙까지 이어서 증명해 보도록 하겠습니다.